Remplacement de la métrique de Schwarzschild.

Publié le par cosmologie.over-blog.com

Remplacement de la métrique de Schwarzschild.

Recherche d'une théorie satisfaisante en remplacement de la théorie de Schwarzschild qui présente des défauts rédhibitoires ( voir l'article "mise en défaut de la métrique de Schwarzschild").

Exposé de la démarche pour la mise au point d'une nouvelle métrique.

Lors de précédents articles l'accent a été mis sur la variation du potentiel gravitationnel d'un corps à symétrie sphérique, tant à l'intérieur qu'à l'extérieur de ce corps. Il a été constaté « la continuité du potentiel gravitationnel Φ sur la plage totale des distances radiales r de son centre de gravité pris comme origine jusqu'à l'infini ».


 

Cette continuité donne à penser que si l'on trouve une formule intéressante pour l'extérieur, on pourra la reconduire pour l'intérieur, du moins dans sa forme générale.

Pourquoi s'intéresser à l'intérieur, me direz-vous ? Tout simplement parce que l'Univers n'est rien moins qu'un corps globalement à symétrie sphérique constitué de différentes formes d'énergie

C'est pourquoi la démarche commence par la mise au point d'une théorie pour l'extérieur des corps massifs à symétrie sphérique, milieu qui a fait l'objet de travaux intéressants, comme ceux de Jean-Pierre Chabert.

Réf : Gravitation relativiste : une approche simple basée sur le ...

jpm-chabert.perso.neuf.fr/Gravitation%20relativiste.pdf


 

 

Les coordonnées sphériques ayant pour origine le centre du corps seront utilisées, sachant que l'espace non concerné par les attractions gravitationnelles possède une métrique qui s'écrit :

ds2 = c2.dt2 – (dr2 + r2.dθ2 + r2.sin2θ.dϕ2 ), avec r2.[ dθ2 + sin2θ.dϕ2 ] = r2.dΩ2 , r.dΩ : composante tangentielle de la partie spatiale de la métrique de Minkowski. ,

 

 

 

Prise en compte des accélérations, donc des « forces » de gravitation.

 

Il s'agit de revoir totalement la métrique en se démarquant totalement de celle de Schwarzschild, toujours dans le cas du champ de gravitation extérieur au corps à symétrie sphérique. L'idée est de la construire sur la base de l'influence du potentiel, donc sur l'énergie, donc sur le travail des forces de gravitation.

Le début de la démarche est de s'appuyer sur la Théorie de la Relativité Restreinte en considérant que sur un temps très court il est possible de considérer le supplément d'accélération comme un supplément infinitésimal de vitesse pendant un écart infinitésimal de temps.

C'est ce que l'on a dénommé « rapidité ».

 

Le mouvement radial accéléré appelle à se servir de la rapidité.

Soit un référentiel mobile associé à cet objet se déplaçant à l'instant t à la vitesse v par rapport au corps attractif immobile. Ce référentiel accélère de telle façon qu'il acquiert un supplément de vitesse infinitésimal dw en un laps de temps  tous deux exprimés avec les unités locales du référentiel mobile telles que l'accélération locale soit Γloc/réfLoc = dw/dτ . La vitesse résultante mesurée dans le référentiel fixe ayant pour origine le centre de l'attracteur est notée V, et le supplément de vitesse mesuré dans ce référentiel est dv.

En vertu de la loi relativiste de composition des vitesses V = ( v + dv ) / ( 1 + v.dw/c2 ), la variation de la vitesse v est dv  telle que dv = V {-} v   = [(v + dw) / (1 + v.dw/c2)] – v = (1 – v2/c2).dw /(1 + v.dw/c2). Nota : {-} indique une composition relativiste soustractive et non une soustraction arithmétique.
Comme dw << v, v.dw/c2 ≈ 0 et dv = (1 – v2/c2).dw.

La loi fondamentale de la mécanique rationnelle F = m.Γ s'exprime aussi dans chacun des référentiels galiléens instantanés tangents à la trajectoire sous condition que Γloc/réfLoc = dw/dτ soit exprimé avec le temps τ de ce référentiel mobile, avec dτ = dt /(1 – v2/c2)1/2 . On a donc une relation entre Γloc /réfdist  et Γloc/réfLoc  : 
Γloc /réfdist = (1 – v2/c2)3/2 . Γloc/réfLoc .

Ainsi la vitesse finale mesurée dans le référentiel fondamental mesurée par cette méthode sera donc, puisque Γloc/réfLoc = dw/dτ   ∫dw = ∫ ΓLoc . dτ = Γ11   Γ22   Γ33  ⊕ °…(° Nota : ⊕ indique une composition relativiste additive et non une addition arithmétique)...et comme dv = (1 – v2/c2).dw  , ∫dw =

( dv /(1 – v2/c2), v variant de 0 à u, ce qui donne compte tenu de la relation mathématique connue ∫ dx/(x2 – a2) = (1/2a).ln[(x-a)/(x+a)] à une constante près, d'où : ∫ dw = ∫v=0u ( dv /(1 – v2/c2) = c.arc[th (u/c)] , v ayant varié de 0 à u.


 

Remplacement de la métrique de Schwarzschild.

Cette définition en terme d'accélération accumulée nous fait comprendre pourquoi la rapidité n'est pas bornée : rapidité w telle que w = ln{[(c+v)/(c-v)]1/2} , à une constante près, dont on sait qu'elle est nulle pour avoir w = 0 quand v = 0 , ce qui donne v/c = th (w/c).

La fonction th est la tangente hyperbolique. w porte le nom de « rapidité », alors que sa dérivée dw/dτ représente une accélération, et aussi une force si on la multiplie par la masse-énergie de l'objet concerné m= m0/(1 – v2/c2)1/2 = m0.ch(w/c), avec m: masse au repos absolu.

On constate que pour que v → c, il faut que w → infini. Cela revient à dire que pour que v atteigne c il faut exercer au final une force infinie.

 

Par ailleurs comme dτ = dt/(1 – v2/c2)1/2, on obtient par intégration le long de la ligne d'Univers la durée propre entre 2 événements a et b : τ (ab) = ∫ab dt/(1 – v2/c2)1/2 . Cette intégrale montre que l'on est amené à s'appuyer sur toute une série de référentiels inertiels tangents à la trajectoire du corps attiré, chacun étant parfaitement synchronisé à l'instant coïncidant avec le référentiel fixe de l'observateur.

Enfin, grâce à ce concept de rapidité il est possible s'exprimer avec une écriture condensée la masse m, l'impulsion p, l'énergie E, en notant m0 la masse du mobile au repos, v sa vitesse dans le référentiel fondamental, w sa rapidité :

m = m0/(1 – v2/c2)1/2 = m0.ch(w/c),
p = m.v = m0.ch(w/c).v = m0.c.[(v/c) /(1 – v2/c2)1/2] =  m0.c.sh(w/c),
E = m.c2 = m0c2.ch(w/c).

Recherche de l'expression d'une métrique nouvelle.


 

La notion de rapidité w a été introduite : v/c = th (w/c), avec termes de variation exponentielle. Le supplément de vitesse dv dû à l'accélération w s'écrit (1)
Selon la loi de la gravitation universelle un corps de masse m subit de la part d'un corps céleste de masse M une force F telle que F = - GmM/r2 .
La force est définie par F = dp/dt = m0.c.d [sh(w/c)]/dt = m0.c.ch(w/c).(1/c).dw/dt, avec m = m0.ch(w/c), →
F = m.dw/dt.
Nota : En calcul relativiste, il faut se poser la question de l'expression de la force radiale F dans le référentiel fixe R et dans le référentiel mobile R' en translation de vitesse v par rapport à R. Si on appelle FR la composante dans R et FR'  la composante dans R', si la vitesse V du mobile coïncide à un instant donné avec la vitesse  radiale v  du référentiel R', on a FR = FR' . La force est donc conservée.

Γ = dw/dt (et non dv/dt).

Γ c'est aussi - dΦ/dr, avec Φ = - G.M/r Γ = - G.M/r2 = dw/dt (2), et Φ/c2 = - G.M/r.c2.

 

Nous allons dériver ch(w/c) par rapport à t pour faire apparaître l'accélération dw/dt , sachant que

d[ch(w/c)]/dt = (1/c).sh(w/c).dw/dt, soit sachant aussi que sh(w/c) = (v/c) /(1 – v2/c2)1/2 → d[ch(w/c)]/dt = (v/c2).ch(w/c).dw/dt .

Compte tenu de la relation (2) : dw/dt = - G.M/r2, sachant de plus que v = dr/dt,

d[ch(w/c)]/dt = (1/c2).(dr/dt).ch(w/c).(- G.M/r2) → d[ch(w/c)] / ch(w/c) = - G.M.dr / c2 r2.

Remarquons ici que – 1 / r2 est la dérivée d (1/ r) / dr, ou - dr/r2 = d(1/r), soit l'équation différentielle à variable séparées : d[ch(w/c)] / ch(w/c) = d(G.M/ c2 r), qui donne, sachant que l'écriture  fonction exponentielle, exp(x)=ex,

Ln[ch(w/c)] + ln[exp (- G.M/ c2 r) ] = Cte

Ln[ch(w/c)] + ln[exp ( Φ/c2 )] = Cte ch(w/c). e- GM / r = Cte, soit encore :

 

[ch(w/c)]. exp( Φ/c2) = Cte

 

Nota : relation à ne pas reconduire à l'intérieur du corps car ΔΦ n'y varie pas comme 1/r , mais comme r2.

 

Dans le champ gravitationnel, la formule de l'énergie d'un mobile devient : E = [m0.c2.ch(w/c)].exp( Φ/c2 ) .

 

Pour interpréter cette formule, la conservation de l'énergie en théorie de Newton s'écrit : E = - G.M.m /r + ½.m.v2 , dans laquelle - G.M.m /r est l'énergie potentielle et ½.m.v2est l'énergie cinétique.

En l'absence de champ gravitationnel, l'énergie du mobile est donnée par la formule : E' = m0.c2.ch(w/c) : il est clair que cette formule est équivalente à la précédente quand r tend vers l'infini, car Ф tend alors vers 0 ; c'est une expression de l'énergie qui prend en compte masse et mouvement, mais qui néglige l'énergie potentielle, alors que l'énergie totale E telle que E = m0.c2.ch(w/c).exp(Φ/c2) inclut l'énergie potentielle du mobile (décroissante ici puisque Φ < 0).

 

En l'absence de champ gravitationnel ( r = ), l'énergie apparente E' se confond avec l'énergie réelle E.

L'énergie apparente E' est liée à l'énergie réelle par la relation E = E'. exp(Φ/c2 )

 

 

Corrélation avec l'expérience de Pound et Rebka pour la lumière, laquelle met en jeu les énergies.

 

L'expérience de Pound et Rebka. (Croquis ci-contre)


 

Remplacement de la métrique de Schwarzschild.

Le lien entre le potentiel gravitationnel et les effets isotropes et bien réels sur la métrique spatio-temporelle a été mis en évidence par l'expérience de Pound et Rebka en 1960 : il s'agissait de démontrer que la fréquence d'une onde émise au pied A d'une tour (ici de 22,6 mètres de hauteur ou H) diffère de la fréquence reçue en haut de la tour au point B.

Supposons qu'il s'agisse d'un corps matériel de masse m0 que l'on déplace lentement de A vers B. Ainsi on lui fournit de l'énergie m0.g.H durant le trajet, et il arrive en B sans énergie cinétique.


 

Remplacement de la métrique de Schwarzschild.

En se référant à la c ourbe d'évolution du potentiel présentée au début, on peut constater que l'évolution du potentiel gravitationnel A B sera la suivante :

ΔΦ = ΦB- ΦA = - G.M/rB - ( - G.M/rA) = G.M.(rB – rA) /rA.rB >0

ΔΦ > 0 .


On admettra que pour une aussi faible dénivellation la variation de potentiel ΔΦ = G.M. H /rA2 , se traduit par une variation d'énergie potentielle m0.G.M.H/rA2.

On peut donc écrire EA = m0.c2, et ΦA= EA/m0 = c2 , et au point B EB m0.c2 + m0.G.M.H/rA2 ,

avec ΦB = c2 + G.M.H/rA2 . Le rapport des énergies est : EA/EB = 1/(1 + G.M.H/rA2) 1 - G.M.H/rA2 , relation indépendante de m0 , donc applicable aux photons.

Le quantum d'énergie échangée (ou « énergie du photon ») dépend de la fréquence, selon la formule de Planck : E = h.ν, où ν est la fréquence de l'onde (exprimée en hertz Hz) et h est la constante de Planck. Cette formule s'écrit en faisant appel à la période T : E = h / T .

D'où EA/EB = TB/TA = 1 – G.M.H/rA2 avec ΔΦ = G.M.H/rA2 , ce qui implique pour les périodes TA > TB : la période (temps d'écoulement d'une onde) est d'autant plus longue que le champ gravitationnel est fort : le temps avance plus lentement pour A que pour B.


 

On a vu que dans le champ gravitationnel, la formule de l'énergie d'un mobile devient :

E = E'. exp(Φ/c2 )

 

Le rapport EA/EB = TB/TA s'écrit : exp( ΦB/c2 ) / exp( ΦA/c2 ) = TB/TA , soit : exp( ΦB- ΦA ) /c2 ) = TB/TA .

Si B est à l'infini ΦB= 0, T/TLoc = exp(- ΦLoc /c2 ), ou encore

Tloc = T. exp(- ΦLoc /c2) , avec Φloc = - G.M/rLoc < 0 : la période dans le champ est bien dilatée.

On sait aussi que la longueur d'onde sera comprimée (contraction des longueurs) : λLoc = λ. exp(ΦLoc /c2) . On vérifie aussi que la vitesse de la lumière est variable car λ = c .T, soit d'une part λ= c. T et d'autre part

λLoc = cLoc. Tloc λ. exp(ΦLoc /c2) = cLoc. T. exp(- ΦLoc /c2) → cLoc = (λ/T) . exp(2ΦLoc /c2) →

cLoc = c . exp(2ΦLoc /c2)

 

La métrique de Minkowski ds2 = c2.dt2 – (dr2 + r2.dθ2 + r2.sin2θ.dϕ2 ) est applicable à l'infini, ce qui donne en progression radiale (dΩ = 0) compte-tenu des relations sur le temps et les distances radiales :

ds2 = c2.dt2 – dr2= c2. dtLoc2 .exp(2ΦLoc /c2) - drLoc2.exp(-2ΦLoc /c2).

 

 

Nouvelle métrique en remplacement de celle de Schwarzschild :

 

En progression quelconque il faut rajouter le terme rLoc2 .dΩ2 avec le coefficient exp(-2ΦLoc /c2), ce qui donne

ds2 = c2. dtLoc2 .exp(2ΦLoc /c2) - .exp(-2ΦLoc /c2).[ drLoc2 + rLoc2 .dΩ2 ],

avec Φloc= - G.M/rLoc .

 

 

Plaidoirie pour les variations exponentielles des coefficients de la métrique.

 

Avis extérieurs.

 

1°) Je note que Nathalie Deruelle propose pour l'intérieur des étoiles statiques à symétrie sphériques un élément infinitésimal de métrique comportant des coefficient à variation exponentielle :

ds2 = exp(ν) .dt2 – exp(λ).dr2 - r2. [dθ2 + sin2θ.dϕ2 ] à ceci près que l'isotropie n'est pas respectée (La raison de ce défaut a été expliquée : il a été généré par la R.R., avec reconduction sur la R.G.).

 

2°) Je m'appuie sur le site suivant qui développe très bien le sujet, http://astro.physics.free.fr/RG/06.pdf, aussi je me contente d'en rappeler les grandes lignes : page 6,11 :

« Nous cherchons une métrique solution des équations d'Einstein dans le vide, à l'extérieur d'une distribution d'énergie à symétrie sphérique centrée sur l'origine. [...] par analogie avec le cas de la métrique de Minkowski exprimée en symétrie sphérique :ds2 = exp(2α).dt2 + exp(2β).dr2 + r2.dΩ2

( bien que le défaut de l'anisotropie perdure).

 

 

Jean-Pierre Luminet écrit à ce sujet dans son ouvrage « Illuminations : cosmos et esthétique », page 127 : « Seule solution pour se débarrasser des infinis gravitationnels : sortir du cadre de la Relativité Générale classique. Et c'est bien la voie qui semble raisonnable, car tout pousse les physiciens à considérer que l'apparition d'une singularité, caractérisée par des grandeurs infinies, marque la limite de validité d'une théorie. La Relativité Générale (ni aucune autre théorie de la gravitation proposée) n'est pas une théorie complète […] ».

l'horizon), et que cette matière-énergie soit la cause de la courbure de l'espace-temps à l'

Jean-Pierre Chabert sur son site internet (Gravitation relativiste : une approche simple basée sur le critère de Schild ) renchérit :

« Beaucoup de physiciens estiment que la relativité générale n'est pas une théorie définitive. Ils font observer que la célèbre équation d'Einstein (équation des champs) n'a jamais été démontrée ; d'autre part, des reproches principaux sont régulièrement formulés à propos de l'apparition de singularités et d'infinis intempestifs... »

En outre, Jean-Pierre Chabert démontre que les tests classiques de la relativité générale ne sont pas affectés par cette correction de la métrique de Schwarzschild sous cette forme.

 

 

La formule de Schwarzschild isotrope correspond au cas de champ faible.

 

 

Dans le cas où Φ est faible, d'une part exp(2ΦLoc /c2) ≈ 1 + 2ΦLoc /c2, et d'autre part exp(- 2ΦLoc /c2) ≈ 1 - 2ΦLoc /c2 ≈ 1 / (1 + 2ΦLoc /c2) et l'on constate que la formule de Schwarzschild ds2 = c2.dt2 (1 + 2Φ /c2 ) - dr2 /(1 + 2Φ /c2 ) - r2.dΩ2 correspond à un cas de champ faible !

 

Disparition de la singularité du rayon dit « de Schwarzschild ».

 

En comparant à la formule de Schwarzschild déjà rectifiée pour assurer la platitude, soit :

ds2 = c2.dt2 (1 + 2Φ /c2 ) - /(1 + 2Φ /c2 ) .(dr2 + r2.dΩ2 ), ou encore ds2 = c2.dt2 (1 – 2G.M /r.c2 ) - 1 /(1 – 2G.M /r c2 ) .(dr2 + r2.dΩ2 )on remarque que le coefficient 1 /(1 – 2G.M /r c2 ) qui multiplie dr2, dans le second membre de la métrique, tend vers l'infini quand r tend vers 2G.M/c2 ; cette singularité n'existe pas dans la métrique de la Théorie du potentiel relativiste, puisque le coefficient correspondant à exp(- 2ΦLoc /c2) = exp(- 2G.M/r.c2) ne diverge pas et est = à exp(- 1) = 1/e = 0,36788.

On constate que pour cette valeur de r la singularité disparaît. C'est l'effacement de la singularité du trou noir. Le coefficient de contraction de la métrique est quant à lui = à 0,367881/2 = 0,606.

 

Einstein lui-même estimait que les discontinuités de Schwarzschild ne devaient pas avoir d'existence physique.

Dans son document « Gravitation relativiste » Jean-Pierre Chabert écrit page 20 :  « on pose k =

G.M/c2, si bien que k/r = - Φ/c2 et le coefficient de ralentissement du temps 1/(1 + 2Φ/c2)1/2 = 1 /(1 – 2k/r)1/2 devient exp(k/r). 1 /(1 – 2k/r)1/2 et exp(k/r) ont le même développement limité au premier ordre en k/r , soit 1 + k/r . La différence est insensible pour r très grand. Si r tend vers 2k (ce qui correspond à l'horizon d'un trou noir ) : alors que 1 /(1 – 2k/r)1/2 tend vers + alors que exp(k/r)tend vers e1/2 = 1,649 ! Si c'est la formule de Schwarzschild la bonne, pour un observateur distant, un chronomètre situé à la surface d'un trou noir semblera s'arrêter ; mais si c'est la seconde formule (celle du présent document avec ses coefficients exponentiels) qui est correcte, alors ce chronomètre semblera tourner à 60,6% de sa vitesse normale. Ce n'est du tout pareil.

 

 

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